Cuantos triangulos ves

No hay nada como un problema matemático enloquecedor, ilusión óptica alucinanteo rompecabezas de lógica retorcida para detener toda la productividad en el Mecánica Popular oficina. Somos personas curiosas por naturaleza, pero también compartimos colectivamente una terca insistencia de que somos bien, maldita seay, por lo tanto, tendemos a dejar de lado el trabajo cada vez que nos encontramos con un problema con varias soluciones aparentemente posibles.

Este desafío para el cerebro en triángulo no es nuevo, agradece Popsugar para desenterrándolo Hace un par de años, pero basado en una sombra de magia en Internet, el tweet que aparece a continuación reapareció hoy en mi feed y dio inicio a un nuevo debate sobre todo nuestro personal Slack channel, un lugar tradicionalmente reservado para ideas de trabajo, pero en su lugar se usa principalmente para gritar sobre otras cosas en las que ocasionalmente nos convertimos contenido.

Como soy masoquista, volví a dibujar el triángulo y pedí a todos los miembros del personal que dejaran de lado lo que estaban haciendo e intentaran resolver la simple pregunta: ¿Cuántos triángulos puedes encontrar?

Te ahorraré la conversación completa, créeme, nadie quiere ver eso, pero las respuestas del equipo variaron por todas partes. Algunos editores vieron cuatro triángulos. Otros vieron 12. Algunos vieron 6, 16, 22. Incluso más vieron 18. Un sabio contó los triángulos en la A en la pregunta misma, mientras que otro parecía tener una existencia crisis: "Ninguna de estas líneas es realmente recta, solo curvas, por lo que no puedes definir ninguna de ellas como un triángulo", dijo. dijo. “No hay triángulos en esta foto. La vida no tiene sentido.

Luego planteamos el problema a nuestros seguidores de Instagram, cuyas respuestas también abarcaron toda la gama, de 5 a 14 a 37. Si bien reconocemos la alta probabilidad de trolear aquí, está claro que las personas responden al problema de muchas maneras diferentes.

Podría haber escuchado a mis colegas explicar sus procesos cuestionables todo el día, pero en su lugar, contacté a varios expertos en geometría para ver si podíamos llegar a una respuesta consensuada. Resulta que prácticamente todos los matemáticos con los que contacté encontraron la misma solución, pero no todos se dieron cuenta de la misma manera.

Si todavía no quieres saber la respuesta, deja de leer e intenta resolver el problema primero. Te veré aquí cuando hayas terminado.

Oye, eso fue rápido. Listo para la respuesta? A diferencia de algunos problemas de matemáticas virales que son intencionalmente vagos y abiertos a la interpretación, este realmente tiene una solución slam-dunk, sin dudas, y es 18. Escuchemos a algunos de los expertos en geometría sobre por qué.

"Me acercaría a esto de la misma manera que uno aborda cualquier problema matemático: reducirlo y encontrar estructura", dice Sylvester Eriksson-Bique, Ph. D., becario postdoctoral en las matemáticas de la Universidad de California en Los Ángeles. Departamento.

La única forma de formar triángulos en la figura que dibujé, dice Erikkson-Bisque, es si el vértice superior (esquina) es parte del triángulo. La base del triángulo tendrá que ser uno de los tres niveles siguientes. “Hay tres niveles, y en cada uno puedes elegir una base entre seis formas diferentes. Esto da 18, o 3 veces 6 triángulos ".

Veamos nuevamente el triángulo maestro.

"Es conveniente generalizar al caso donde hay norte líneas que pasan por el vértice superior, y pag líneas horizontales ", dice Francis Bonahon, Ph. D., profesor de matemáticas en la Universidad del Sur de California.

En nuestro caso, norte = 4 y p = 3. Cualquier triángulo que encontremos en el dibujo debe tener un vértice superior y otros dos en la misma línea horizontal, por lo que para cada línea horizontal, el número de triángulos con Bonahon dice que dos vértices en esa línea son iguales al número de formas en que podemos elegir estos vértices, es decir, el número de formas en que podemos elegir dos puntos distintos de norteo "norte elige 2. "

¿Recuerdas las matemáticas de la secundaria? Eso es norte(norte-1)/2. Y como hay pag líneas horizontales, dice Bonahan, esto da p n(n-1) / 2 posibles triángulos. En nuestro caso, eso es 3x4 (4-1) / 2 = 18.

Aquí hay un práctico desglose de cómo encontrar cada triángulo posible:

Johanna Mangahas, Ph. D., profesora asistente de matemáticas en la Universidad de Buffalo, también llegó a los 18 años, primero a través del simple conteo de la fuerza bruta, luego a través del mismo astuto combinatoria como arriba, pero admite que nuestro desafío para el cerebro triangular no es tan genial como este de Po-Shen Loh, Ph. D., profesor de matemáticas en la Universidad Carnegie Mellon en Pittsburgh, como presentado en el New York Timesel año pasado:

Este tiene una respuesta matemática más ingeniosa, dice, porque aquí, contar triángulos es lo mismo que contar combinaciones de tres líneas elegidas de seis [6-choose-3 = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1)].

"En ese caso, cada par de líneas se cruzan y no hay intersecciones triples o más, por lo que cualquier elección de tres siempre da un triángulo", dice Mangahas. En la imagen que le envié, algunas líneas son paralelas, por lo que no pueden ser parte del mismo triángulo. "Si tomas las mismas siete líneas y las agitas un poco, es probable que probablemente aterriza como el problema de [Loh] y tendrías más triángulos y una linda respuesta similar ". (Para el registro: 35.)

Uf. Todavía no he compartido este nuevo problema de triángulo con mis compañeros de trabajo. Pero es solo cuestión de tiempo antes de que lo descubran y discutan un poco más.

🚨ACTUALIZACIÓN IMPORTANTE 1/30/20🚨: Desde la publicación de esta historia, muchos, muchos los lectores se han comunicado para avisarme que si bien 18 es una respuesta aceptable a este problema, no es el solamente uno, debido a una supervisión involuntaria de mi parte. Podría haberlo hecho mucho más fácil para los lectores, y, lo que es más importante, mucho más fácil para mi bandeja de entrada, si hubiera dibujado el triángulo en papel de computadora blanco y liso. Pero no.

Desafortunadamente, dibujé este triángulo en papel rayado, y muchas personas inteligentes han señalado correctamente que, bueno, Realmente, si cuenta las líneas paralelas de color azul claro en la imagen además de las líneas de color azul oscuro escritas en el marcador, en realidad hay más de 18 triángulos en total aquí, considerablemente más. Nunca especifiqué usar solo esas líneas azul oscuro, y por lo tanto, estoy equivocado. Tienes razón.

Un lector, Ralph Linsangan, me pertenece totalmente al enviar esta imagen, en la que marca cada triángulo adicional que se encuentra bajo el tecnicismo, marcando 17 triángulos adicionales para un total de 35. Mirad:

Ese tipo de dedicación es solo una de las muchas razones por las que amo Mecánica Popular lectores No podemos pasar nada de ustedes, chicos. Hasta el próximo teaser!

🚨AÚN OTRA ACTUALIZACIÓN DE TRIÁNGULO 1/31/20🚨: Desde que publiqué la última actualización, incluso he sabido de más de ti, continuar reprendiéndome a mí, ya tus compañeros lectores, por no considerar posibles triángulos adicionales Escuchemos al lector Derek Schneider, quien envió otro gráfico sugiriendo que hay 45 triángulos.

Sin embargo, si seguimos las reglas originales, cuento y 9 adicionales que son definitivos (en verde) y uno que podría estar abierto a la interpretación dependiendo de cómo coloque visualmente el vértice superior (en morado)... Yo personalmente contaría eso.

Mientras tanto, el lector Poingly escribió para decir que hemos estado cometiendo un "grave error" al contar los triángulos todo el tiempo:

Tome la esquina inferior derecha, por ejemplo, muestra una flecha para un triángulo. Sin embargo, estas líneas de color azul claro podrían formar hasta TRES triángulos solo en esta esquina:

Si bien algunos de estos PUEDEN ser algo discutibles (es decir, donde EXACTAMENTE las líneas azules claras se cruzan con las oscuras y hacen técnicamente forman un triángulo o un cuadrilátero), he contado SIETE triángulos ADICIONALES que se pueden hacer en este camino. Esto eleva el número total de triángulos hasta 42.
La mala noticia es que nos perdimos algunos triángulos. La buena noticia es que esto confirma que la vida claramente TIENE significado, como lo demuestra el número exacto: 42.

Punto destacadoPoingly. El lector James Goodrich dio un paso más, sugiriendo que abramos nuestras mentes para considerar qué podría ser un triángulo:

Bueno, según su lector, quien señaló 17 triángulos adicionales (usando el "Andrew no especifique qué líneas pueden comprender los 3 bordes de una "cláusula de triángulo", no pudo encontrar claramente mucho más. Tomemos, por ejemplo, el mini-triángulo inferior izquierdo en el anexo "Actualización importante" del 30 de enero de 2020. ¿Las áreas del mini-triángulo y el área del rombo adyacente a él, combinadas, no formarían otro triángulo?

Otra idea a considerar: los triángulos tienen 3 ángulos (¿quién lo habría adivinado?); sin embargo, postularía que la forma en que describe un triángulo, a través de dichos ángulos, generaría diferentes triángulos. Dado un triángulo T, con vértices A, B y C, t-one podría ser descrito por ABC, siendo B el ángulo central. Sugiero que t-two, descrito por BAC, es diferente. Del mismo modo para BCA.

Si luego tomamos un caso particular, triángulos de ángulo recto, podemos derivar funciones seno, coseno y tangente (SOH, CAH, TOA). Si tuviéramos que aplicar eso al triángulo (y relajar el requisito de ángulo recto, podría significar que BAC es diferente a CAB). Por supuesto, se hacen excepciones para los triángulos isoscolese y equiláteros (este último solo tendría 3 definiciones de triángulos distintos).

No he pensado cómo cuantificar cada sugerencia (y aplicar la última después de la primera aumentaría el recuento todavía), por lo que no tengo un número fácil para que pueda usar en una actualización importante actualizada (si considera que mis ideas merecen la pena actualizar).

Lo hice, James. Y estaré esperando. A regañadientes, decidí hacer un último intento para descubrir cuántos triángulos adicionales podrían recibir nuestras nuevas reglas caóticas, y llegué a 43, para un total de 61:

Sin embargo, estoy bastante seguro de que alguien que lea esto rápidamente me dirá que estoy equivocado una vez más y entregará pruebas de triángulos aún más ocultos, enviándome por otra madriguera de conejos en el largo y sinuoso camino hacia eventual locura. (Nota al margen: no he visto a mi esposa en tres días. Por favor, dile que la amo.) Así que estoy emitiendo un último desafío: Si puedes encontrar los triángulos más posibles en la imagen original, muéstrame tu trabajo y prueba definitivamente su supremacía, actualizaré esta historia una última vez y lo coronaré como el Rey o la Reina del Triángulo, ahora y Siempre. Buena suerte.